Gerak Partikel Satu Dimensi

Pada topik ini dipelajari kinematika dalam satu dimensi, yaitu membahas benda yang bergerak pada lintasan garis lurus. Untuk itu harus dipahami konsep pergeseran yang kemudian dapat didefinisikan kecepatan dan percepatan. Konsep-konsep tersebut kemudian digunakan untuk mempelajari gerak benda dalam satu dimensi dengan percepatan konstan. Dalam hal ini benda yang ditinjau dapat dipandang sebagai sebuah partikel, yaitu benda yang sedemikian kecil sehingga secara matematika didefinisikan sebagai sebuah titik yang besarnya tak terukur.
PERGESERAN, KECEPATAN dan PERCEPATAN

1. Pergeseran

Posisi dari suatu partikel di dalam suatu sistem koordinat dapat dinyatakan dengan vektor posisi r = x i + y j. Partikel bergerak dari posisi pertama r₁ ke posisi kedua r₂ melalui lintasan sembarang (tidak harus lurus) menyatakan perpindahan partikel. Tetapi  dalam bab ini akan dibahas perubahan posisi benda melalui garis lurus. Pergeseran didefinisikan : r = r₂ - r₁

    2. Kecepatan

   Pertikel bergerak dengan suatu lintasan tertentu. Pada sat t₁ partikel pada posisi r₁ dan pada t₁ partikel pada posisi r₁. Kecepatan adalah pergeseran partikel per satuan waktu.

Kecepatan rata-rata.

vrata-rata = (r2-r1)/(t2-t1) 

Kecepatan sesaat.

Bila selang waktu pengukuran  mendekati harga nol maka diperoleh kecepatan sesaat.

v_s = lim x/t…… (untuk t yang mendekati nol (0))

v_s = dr/dt

Dalam 2 dimensi r dapat dinyatakan sebagai r = x i + y j maka diperoleh kecepatan

v = dr/dt

v = dx/dt i + dy/dt j

= v_x i + v_y j

Dalam 1 dimensi dimana gerak dari pertikel hanya dalam satu arah saja (misalkan dalam arah sumbu x) maka v_y = 0.

Maka percepatan partikel dalam 1 dimensi (sumbu x) adalah

v = v_x i

   3. Percepatan

Selama pergeseran tersebut kecepatan pertakel dapat mengalami perubahan. Perubahan kecepatan per satuan waktu disebut percepatan.

Percepatan rata-rata

Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu t.

ar = (v₂ - v₁)/ (t₂ - t₁)

Percepatan sesaat

Bila selang waktu t mendekati nol maka diperoleh harga sesaat dari percepat
a_s = lim v/t  …..(untuk t mendekati nol)

a_s = dv/dt.

Dalam 2 dimensi v dapat dinyatakan sebagai v = vx i + vy j maka diperoleh percepatan

a = dv/dt =  dv_x/dt i + dv_y/dt  =  a_x i + a_y j

Dalam 1 dimensi dimana gerak dari pertikel hanya dalam satu arah saja (misalkan dalam arah sumbu x) maka a_y = 0.

Maka percepatan partikel dalam 1 dimensi (sumbu x) adalah

a = a_x i

Apabila partikel bergerak dengan percepatan konstan, maka a_r = a_s = a.

GERAK DALAM SATU DIMENSI dengan PERCEPATAN KONSTAN

Gerak partikel satu dimensi terbagi atas:

1. Gerak dalam arah sumbu x.

Gerak satu dimensi berarti partikel bergerak dalam satu arah saja, misalkan dalam arah sumbu x.

            pergeseran      : r = x i

            kecepatan       : v = v_x i

            percepatan      : a = a_x I

Karena arah gerak sudah ditentukan maka dalam perumusan tentang gerak partikel hanya menyangkut tentang besarnya saja.

� Percepatan konstan :       a_r = a_s = a.

                                        a = v₂ - v₁

                                               t₂ - t₁

                                        a = v_x - v_o

                                                   t

    Diperoleh persamaan    v_x = v_o + at (*)

at menyatakan pertambahan kecepatan pada selang waktu tersebut.                          

� Percepatan konstan  = perubahan v konstan.

Dari statistik dapat diperoleh  v_r = (v_o + v )/2.

Bila v_r t menyatakan pertambahan posisi dalam selang waktu t, maka posisi partikel menjadi

                    x = x_o + v_r t     

Dengan mensubstitusikan v_r = (v_o + v )/2 diperoleh

                    x = x_o + 1/2 (v_o + v ) t        (**)

Bila persamaan (*) disubstitusikan ke (**) diperoleh :

                        x = x_o + 1/2 (v_o + v_o + at) t

                  

                    x = x_o + v_o t +1/2 at²          (***)

dan bila t = (v_x - v_o )/a yang disubstitusikan diperoleh

                    x = x_o + 1/2 (v_o + v_x )t

                     x = x_o + 1/2 (v_o + v_x ) (v_x - v_o )/a

                    v_x ² =  v_o² + 2a (x - x_o )             (****)

Dari pembahasan di atas diperoleh 4 buah persamaan yang menghubungkan 4 buah variabel dari kinematika (x, v, a, t). Sehingga permasalahan tentang gerak partikel dapat diselesaikan dengan menggunakan 4 buah persamaan berikut :

(1) v_x = v_o + at                       tanpa : x

(2) x = x_o + 1/2 (v_o + v ) t       tanpa : a

(3) x = x_o + v_o t +1/2 at²          tanpa : v

(4) v_x ² =  v_o² + 2a (x - x_o )            tanpa : t

2. Gerak dalam arah sumbu y.

Gerak dalam arah sumbu y dapat diperoleh langsung dengan mengambil persamaan yang sudah diperoleh

(1) v_y = v_o + a_yt                            

(2) y = y_o + 1/2 (v_o + v_y) t             

(3) y = y_o + v_o t +1/2 a_yt²     

(4) v_y ² =  v_o² + 2a_y (y - y_o )  

 • Gerak jatuh bebas

Gerak jatuh bebas adalah kondisi khusus dari gerak dalam arah sumbu y.

v_o  = 0,  y_o = 0 dan a_y = g. (karena arah gerak selalu ke bawah, maka arah ke bawah diberi tanda positip) diperoleh persamaan :

(1) v_y = gt                            

(2) y =  1/2  v_y t           

(3) y = 1/2 gt²     

(4) v_y ² =  2gy